Question

如图，已知抛物线的方程为x²=2py（p＞0），过点A（0，-1）作直线l与抛物线相交于P，Q两点，点B的坐标为（0，1），连接BP，BQ，设QB，BP与x轴分别相交于M，N两点．如果QB的斜率与PB的斜率的乘积为-3，则∠MBN的大小等于

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：设直线PQ的方程为：y=kx-1，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），联立直线PQ方程与抛物线方程消掉y得x的二次方程，根据韦达定理及斜率公式可求得k_BP+k_BQ=0，再由已知k_BP•k_BQ=-3，可解k_BP=

3

kBQ=-

3

，由此可知∠BNM与∠BMN的大小，由三角形内角和定理可得∠MBN．

解答： 解：设直线PQ的方程为：y=kx-1，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由

y=kx-1 x2=2py

，得x²-2pkx+2p=0，△＞0，
则x₁+x₂=2pk，x₁x₂=2p，kBP=

y1-1

x1

，kBQ=

y2-1

x2

，
k_BP+k_BQ=

kx1-2

x1

+

kx2-2

x2

=

2kx1x2-2(x1+x2)

x1x2

=

2k•2p-2•2pk

2p

=0，即k_BP+k_BQ=0①
又k_BP•k_BQ=-3②，
联立①②解得k_BP=

3

，kBQ=-

3

，
所以∠BNM=

π

3

，∠BMN=

π

3

，
故∠MBN=π-∠BNM-∠BMN=

π

3

．
故答案为：

π

3

．

点评：本题考查直线、抛物线方程及其位置关系等知识，解决本题的关键是通过计算发现直线BP、BQ斜率互为相反数．