Question

在平面直角坐标系中，已知三点A（m，n），B（n，t），C（t，m），直线AC的斜率与AB的斜率之和为

5

3

，AB恰好经过抛物线x²=2p（y-q）的焦点F，且与抛物线交于P，Q两点，则

PF

QF

的值为

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先设出直线AB，AC的斜率，利用已知条件建立等式求得直线AB的斜率，进而利用点斜式表示出直线AB的方程，与抛物线方程联立，求得关于x的方程，求得P，Q的坐标，进而利用斜率和横坐标分别表示出|PF|，|QF|，最后求得其比值．

解答： 解：设k_AB=

t-m

n-m

，k_AC=

m-n

t-m

，
则

t-m

n-m

+

m-n

t-m

=

5

3

，
∵（n-m）•k_AB=t-n=（t-m）+（m-n），
∴

m-n

t-m

=-

1

kAB+1

，
∴k_AB-

1

kAB+1

=

5

3

，解得k_AB=-

4

3

或2（舍去），
∵直线AB过抛物线x²=2p（y-q）的焦点，和直线AB过抛物线x²=2py的焦点，对

PF

QF

的值没有影响，故可研究AB过抛物线x²=2py的情况，
∴直线AB的方程为y=-

4

3

x+

p

2

，与抛物线联立消去y，
整理得x²+

8p

3

x-p²=0，求得x=-3p或

p

3

．
∵抛物线x²=2py的焦点为（0，

p

2

），设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
P在y轴左侧，∴x₁=-3p，x₂=

p

3

∴|PF|=

1+k2

（|x₁-0|）=

1+k2

|x₁|，|QF|=

1+k2

（|x₂-0|）=

1+k2

x₂，
∴

PF

QF

=9．
同理P在y轴右侧，∴

PF

QF

=

1

9

故答案为：9或

1

9

．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系．一般思路是直线方程与抛物线方程联立，消去x或y，转化为一元二次方程的问题，找到问题的突破口．