Question

各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，Sn=

1

4

a

2 n

+

1

2

an (n∈N*)；
（1）求a_n；
（2）令bn=

an，?n为奇数 b n 2 ，?n为偶数

，cn=b2n+4 (n∈N*)，求{c_n}的前n项和T_n；
（3）令bn=λqan+λ（λ、q为常数，q＞0且q≠1），c_n=3+n+（b₁+b₂+…+b_n），是否存在实数对（λ、q），使得数列{c_n}成等比数列？若存在，求出实数对（λ、q）及数列{c_n}的通项公式，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意知an=Sn-Sn-1=

1

4

a

2 n

+

1

2

an-

1

4

a

2 n-1

-

1

2

an-1，（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，由此可知a_n=2n（n∈N^*）．
（2）由题意知c₁=b₆=b₃=a₃=6，c₂=b₈=b₄=b₂=b₁=a₁=2，所以cn=b2n+4=b2n-1+2=b2n-2+1=a2n-2+1=2n-1+2，由此可知Tn=

6，?n=1 8，?n=2 2n+2n n≥3且n∈N*

．
（3）由题设条件知得cn=3+n+

λq2(1-q2n)

1-q2

+λn=3+

λq2

1-q2

-

λq2n+2

1-q2

+(λ+1)n，由此可以推导出存在(λ，q)=(-1，±

3

2

)，cn=4•(

3

4

)n+1．

解答：解：（1）a1=S1=

1

4

a

2 1

+

1

2

a1?

1

4

a

2 1

-

1

2

a1=0，
∵a₁＞0，∴a₁=2；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=

1

4

a

2 n

+

1

2

an-

1

4

a

2 n-1

-

1

2

an-1，

1

4

(

a

2 n

-

a

2 n-1

)-

1

2

(an+an-1)=0，即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=2，∴{a_n}为等差数列，（2分）
∴a_n=2n（n∈N^*）；（4分）
（2）c₁=b₆=b₃=a₃=6，c₂=b₈=b₄=b₂=b₁=a₁=2，（6分）
n≥3时，cn=b2n+4=b2n-1+2=b2n-2+1=a2n-2+1=2n-1+2，（8分）
此时，T_n=8+（2²+2）+（2³+2）+（2^n-1+2）=2ⁿ+2n；
∴Tn=

6，?n=1 8，?n=2 2n+2n n≥3且n∈N*

；（10分）
（3）cn=3+n+

λq2(1-q2n)

1-q2

+λn=3+

λq2

1-q2

-

λq2n+2

1-q2

+(λ+1)n，
令

3+ λq2 1-q2 =0 λ+1=0

?

λ=-1 q=± 3 2

，（14分）
∴存在(λ，q)=(-1，±

3

2

)，cn=4•(

3

4

)n+1．（16分）

点评：本题考查数列性质的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答．