Question

设向量

a

，

b

都是单位向量，且满足|3

a

-2

b

|=

7

（1）求

a

与

b

的夹角的大小；
（2）求|3

a

+

b

|的值；
（3）若（k

a

-3

b

）⊥（

a

+k

b

），求k．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（1）利用向量数量积的定义、运算性质即可得出；
（2）利用数量积的运算性质即可得出；
（3）利用向量垂直与数量积的关系、数量积的运算性质即可得出．

解答： 解：（1）设

a

与

b

的夹角为θ．
∵向量

a

，

b

都是单位向量，且满足|3

a

-2

b

|=

7

，
∴7=9

a

2+4

b

2-12

a

•

b

=9+4-12cosθ，解得cosθ=

1

2

，
∵θ∈[0，π]，∴θ=

π

3

．
（2）|3

a

+

b

|=

9 a 2+ b 2+6 a • b

=

9+1+6×1×1×cos π 3

=

13

．
（3）∵（k

a

-3

b

）⊥（

a

+k

b

），∴（k

a

-3

b

）•（

a

+k

b

）=k

a

2-3k

b

2+(k2-3)

a

•

b

=k-3k+(k2-3)×1×1×cos

π

3

=0，
化为k²-4k-3=0，解得k=2±

7

．

点评：本题考查了向量垂直与数量积的关系、数量积的定义及其运算性质，属于基础题．