Question

【题目】等比数列{an}的各项都是正数，2a5 ， a4 ， 4a6成等差数列，且满足 ，数列{bn}的前n项和为 ，n∈N* ， 且b1=1
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式
（2）设 ，n∈N* ， {Cn}前n项和为 ，求证： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：设等比数列{an}的公比为q，由题意可知2a4=2a5+4a6，即a4=a4q+2a4q2，

由an＞0，则2q2+q﹣1=0，解得：q= ，或q=﹣1（舍去），

a4=4a32=4a2a4，则a2= ，

∴a1= ，

等比数列{an}通项公式an=（ ）n，

当n≥2时，bn=Sn﹣Sn﹣1= ﹣ ，

整理得： = ，

∴数列{ }是首项为 =1的常数列，

则 =1，则bn=n，n∈N*，

数列{bn}的通项公式bn=n，n∈N*

（2）解：证明：由（1）可知：cn= an

= = ﹣ ，

∴ ck=c1+c2+…+cn=（ ﹣ ）+（ ﹣ ）+…+ ﹣

= ﹣ ＜ ．

【解析】（1）由于数列{an}为等比数列，根据等比数列的通项公式表示出a4，a5，a6，根据2a5，a4，4a6成等差数列，可得2a4=2a5+4a6，可解得公比q，从而得到等比数列的通项公式，由bn=Sn﹣Sn﹣1，化简整理可得数列{bn}的通项公式，（2）由（1）求得数列{Cn}的通项公式，采用裂项相消即可求得数列{Cn}前n项和，即可证明不等式成立.
【考点精析】通过灵活运用数列的前n项和和数列的通项公式，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式即可以解答此题．