Question

若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为

3

，则这个椭圆的方程为（　　）

• A、

  x2

  12

  +

  y2

  9

  =1
• B、

  x2

  9

  +

  y2

  12

  =1
• C、

  x2

  12

  +

  y2

  9

  =1或

  x2

  9

  +

  y2

  12

  =1
• D、以上都不对

Answer 1

分析：根据椭圆的基本概念与正三角形的性质，可得b=

3

c．再由椭圆焦点到椭圆上点的最短距离为a-c=

3

，联解得出a、b、c的值，即可得到所求椭圆的方程．

解答：解：设短轴的一个端点为P，左右焦点分别为F₁、F₂，
∵△PF₁F₂为正三角形，
∴|OP|=

3

2

|F₁F₂|，可得b=

3

c，即

a2-c2

=

3

c．…①
又∵椭圆的焦点到椭圆上点的最短距离为

3

，
∴a-c=

3

，…②
联解①②，可得a=2

3

，c=

3

，b=

a2-c2

=3．
因此a²=12且b²=9，可得椭圆的标准方程为

x2

12

+

y2

9

=1或

x2

9

+

y2

12

=1．
故选：C

点评：本题已知椭圆满足的条件，求椭圆的标准方程．着重考查了正三角形的性质、椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．