Question

在直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（0，2），B（-1，0），C（1，0），动点P（x，y）是△ABC内的点（包括边界）．若目标函数z=ax+by的最大值为2，且此时的最优解所确定的点P（x，y）是线段AC上的所有点，则目标函数z=ax+by的最小值为

-2

．

Answer 1

分析：先根据三顶点A（0，2），B（-1，0），C（1，0），画出可行域，设z=ax+by，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线ax+by=z与可行域内的边BC平行时，z=ax+by取最大值时的最优解有无数个，从而得到a，b值，最后再求出目标函数z=ax+by的最小值即可．

解答：解：先根据约束条件画出可行域，
设z=ax+by，
将最大值转化为y轴上的截距，
当直线ax+by=z与可行域内的边BC平行时，z=ax+by取最大值时的最优解有无数个，将-

a

b

等价为斜率，
数形结合，得 k_AC=-2=-

a

b

，且a×1+b×0=2，
∴a=2，b=1，z=2x+y
当直线z=2x+y过点B时，z取最小值，最小值为-2．
故答案为：-2．

点评：本题主要考查了简单线性规划，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．