Question

设椭圆（a＞b＞0）的左焦点为F₁（-2，0），左准线L₁与x轴交于点N（-3，0），过点N且倾斜角为30°的直线L交椭圆于A、B两点；
（1）求直线L和椭圆的方程；
（2）求证：点F₁（-2，0）在以线段AB为直径的圆上

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意可求得椭圆的c，进而根据准线方程求得a，则b可求得．则椭圆方程可得，进而根据点斜式求得直线L的方程．
（2）把直线与椭圆方程联立，消去y，设出A，B的坐标，则可求得x₁+x₂=-3x₁x₂，进而分别表示出F₁A和AF₁B斜率，进而求得的值．
解答：解：（1）由题意知，c=2及得a=6
∴b²=6-2²=2
∴椭圆方程为
直线L的方程为：y-0=tan30（x+3）即y=（x+3）
（2）由方程组得2x²+6x+3=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-3x₁x₂=
∵=
∴F₁A⊥F₁B则∠AF₁B=90°
∴点F（-2，0）在以线段AB为直径的圆上
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．