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如图,已知椭圆的焦点和上顶点分别为,我们称为椭圆的特征三角形.如果两个椭圆的特征三角形是相似的,则称这两个椭圆是“相似椭圆”,且三角形的相似比即为椭圆的相似比.

(1)已知椭圆,判断是否相似,如果相似则求出的相似比,若不相似请说明理由;

(2)若与椭圆相似且半短轴长为的椭圆为,且直线与椭圆为相交于两点(异于端点),试问:当面积最大时, 是否与有关?并证明你的结论.

(3)根据与椭圆相似且半短轴长为的椭圆的方程,提出你认为有价值的相似椭圆之间的三种性质(不需证明);

 

【答案】

见解析.

【解析】第一问中利用根据已知的的定义进行判定特征三角形是否相似即可

第二问中,设直线方程,借助于联立方程组,和韦达定理可以表示斜率之积,然后可知为定植

第三问中,利用类比推理的思想可知两个相似椭圆之间的性质有:           

两个相似椭圆的面积之比为相似比的平方;

分别以两个相似椭圆的顶点为顶点的四边形也相似,相似比即为椭圆的相似比;

两个相似椭圆被同一条直线所截得的线段中点重合;

过原点的直线截相似椭圆所得线段长度之比恰为椭圆的相似比

解:(1)由题意可知,椭圆的焦点和上顶点分别为,我们称为椭圆C的特征三角形.如果两个椭圆的特征三角形是相似的,则称这两个椭圆是“相似椭圆”,且三角形的相似比即为椭圆的相似比,所以椭圆相似. ………2分

因为的特征三角形是腰长为4,底边长为的等腰三角形,

而椭圆的特征三角形是腰长为2,底边长为的等腰三角形,

因此两个等腰三角形相似,且相似比为2:1                          ……… 4分

                                                                      

(2)椭圆的方程为:.

        = 与b无关                                 -----------6分

(3)椭圆的方程为:.        

两个相似椭圆之间的性质有:           

两个相似椭圆的面积之比为相似比的平方;

分别以两个相似椭圆的顶点为顶点的四边形也相似,相似比即为椭圆的相似比;

两个相似椭圆被同一条直线所截得的线段中点重合;

过原点的直线截相似椭圆所得线段长度之比恰为椭圆的相似比. ---------------6分

 

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如图,已知椭圆的焦点和上顶点分别为F1、F2、B,我们称△F1BF2为椭圆C的特征三角形.如果两个椭圆的特征三角形是相似的,则称这两个椭圆是“相似椭圆”,且三角形的相似比即为椭圆的相似比.
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