Question

已知函数y=f（x）的定义域为R，且f（-x）=-f（x），当x∈（0，1）时，f(x)=

2x

4x+1

．
（1）求f（x）在（-1，0）上的解析式；（2）求证：f（x）在（0，1）上是减函数．

Answer 1

分析：（1）x∈（-1，0）时，-x∈（0，1），从而有f（-x）=

2-x

4-x+1

=

2x

4x+1

，再由f（-x）=-f（x）即可求得f（x）在（-1，0）上的解析式；
（2）利用单调性的定义证明即可．先设0＜x₁＜x₂＜1，再作差f（x₁）-f（x₂）化积后判断即可．

解答：解：（1）∵f（-x）=-f（x），x∈（0，1）时，f(x)=

2x

4x+1

，
∴当x∈（-1，0）时，f(x)=-f(-x)=-

2x

4x+1

；
（2）证明：设0＜x₁＜x₂＜1，则

f(x1)-f(x2)= 2x1 4x1+1 - 2x2 4x2+1 = 2x1(4x2+1)-2x2(4x1+1) (4x1+1)(4x2+1)

=

2x1+x2(2x2-2x1)+(2x1-2x2)

(4x1+1)(4x2+1)

═

(2x1-2x2)(1-2x1+x2)

(4x1+1)(4x2+1)

∵0＜x₁＜x₂＜1，
∴2x1-2x2＜0，1-2x1+x2＜0，4x1+1＞0，4x2+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，1）是减函数．

点评：本题考查函数单调性的判断与证明，难点在于（2）的证明，着重考查转化与复杂的运算能力，属于难题．