Question

设

a

=(cosx，sinx)，

b

=(

3

，-1)
（1）求|2

a

-

b

|的最大值及相应x的值；
（2）当

a

•

b

=-

2 5

5

，x∈(0，

π

2

)时，求cosx的值．

Answer 1

分析：（1）根据向量模的公式，得出

|a|

=1且

|b|

=2，再由向量的三角形不等式得|2

a

-

b

|≤2

|a|

+

|b|

，由此不难得到|2

a

-

b

|的最大值及相应x的值；
（2）根据向量数量积的运算公式，解出sin（x-

π

3

）=

5

5

．再利用配角：x=（x-

π

3

）+

π

3

，并结合两角和的余弦公式即可算出cosx的值．

解答：解：（1）∵

a

=(cosx，sinx)，

b

=(

3

，-1)
∴

|a|

=

cos2x+sin2x

=1，

|b|

=

3+1

=2
由此可得|2

a

-

b

|≤2

|a|

+

|b|

=4，
当且仅当2

a

与

b

共线且反向时，即

3 sinx=-cosx cosx＜0

时，等号成立
解之得：x=

5π

6

+2kπ，k∈Z
综上所述，当x=

5π

6

+2kπ（k∈Z）时，|2

a

-

b

|的最大值为4
（2）

a

•

b

=

3

cosx-sinx=-

2 5

5

∴2sin（x-

π

3

）=

2 5

5

，得sin（x-

π

3

）=

5

5

∵x∈(0，

π

2

)，得x-

π

3

∈（-

π

3

，

π

6

）
∴cos（x-

π

3

）=

1-sin2(x- π 6 )

=

2 5

5

由此可得cosx=cos[（x-

π

3

）+

π

3

]=

2 5

5

•

1

2

-

5

5

•

3

2

=

2 5 - 15

10

点评：本题以平面向量数量积的运算为载体，着重考查了三角恒等变形、向量的模及其运算性质等知识，属于中档题．