Question

已知圆C：x²＋y²－2x＋4y－4＝0，是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆C所截得的弦AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：假设直线存在，设l的方程为y＝x＋m， 　　由 　　得2x2＋2(m＋1)x＋m2＋4m－4＝0．(*) 　　设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x1＋x2＝－(m＋1)，x1x2＝． 　　∵以AB为直径的圆为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0，若它经过原点，则x1x2＋y1y2＝0． 　　又y1·y2＝(x1＋m)(x2＋m)＝x1x2＋m(x1＋x2)＋m2． 　　∴2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝0． 　　∴m2＋3m－4＝0，m＝－4或m＝1．∵当m＝－4或m＝1时，可验证(*)式的Δ＞0， 　　∴所求直线l的方程是x－y－4＝0或x－y＋1＝0．

提示：

设A(x1，y1)、B(x2，y2)，再设出直线的方程后将其与圆的方程联立，则所得方程组的解就是A和B的坐标值．但不必解出A和B坐标的具体的表达式，而要将目标放在利用根与系数关系来表示题目所给条件上．其中以AB为直径的圆可表示为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0．