Question

关于函数f(x)=

(x-3)e-x，x≥0 2ax-3，x＜0

（a为常数，且a＞0），对于下列命题：
①函数f（x）在每一点处都连续；
②若a=2，则函数f（x）在x=0处可导；
③函数f（x）在R上存在反函数；
④函数f（x）有最大值

1

e4

；
⑤对任意的实数x₁＞x₂≥0，恒有f（

x1+x2

2

）＜

f(x1)+f(x2)

2

；
其中正确命题的序号是

 

．

Answer 1

分析：①只需说明在点x=0处连续，只需说明在x=0时，两段都有意义且函数值相等；
②只需说明在x=0时，两段导函数都有意义且函数值相等；
③只需说明函数f（x）在R上不是单调函数，用导数来证；
④求导，判断f（x）的单调性，从而求出极大值，也就是最大值；
⑤已知函数在R上先增后减，所以f（x）的图象在[0，+∞）上是上凸的，所以任取两点连线应在图象的下方，故⑤错误．

解答：解：①x=0时，（0-3）e⁰=-3，x=0时，2ax-3有意义，且2ax-3=-3，
∴函数f（x）在x=0处都连续，即函数f（x）在每一点处都连续；
∴①正确
②f′（x）=

e-x(4-x)  x≥0 2a         x＜0

（a＞0），
x=0时，e⁰（4-0）=4，令2a=4得a=2，
∴a=2，函数f（x）在x=0处可导；
∴②正确
③令f′（x）＞0，得x＜4，令f′（x）＜0，得x＞4，
∴f（x）在（-∞，4]上是增函数，在[4，+∞）上是减函数，
∴函数f（x）在R上不存在反函数；
∴③错误
④令f′（x）=0，得x=4，x＜4时，f′（x）＞0，x＞4时，f′（x）＜0，
∴x=4时，f（x）有最大值为f（4）=e^-4=

1

e4

；
∴④正确
⑤在函数f（x）[0，+∞）上任取两点（x₁，f（x₁））（x₂，f（x₂））
∵f（x）的图象在[0，+∞）上是上凸的，所以两点连线应在图象的下方，
∴f（

x1+x2

2

）＞

f(x1) +f(x2)

2

∴⑤错误．
故答案为①②④

点评：连续就是函数图象不间断，在x=0可导就是导函数在两段导函数都有意义且函数值相等，函数在某一区间上不单调，就不会有导函数，利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值，结合函数图象，知上凸的函数图象，任取两点，两点连线应在图象的下方，过两点中点作x轴的垂线，与图象的交点在上，交点纵坐标为f（

x1+x2

2

），与线段的交点在下，交点纵坐标为

f(x1) +f(x2)

2

．