Question

1．已知：a，b，c∈（-∞，0），求证：a+$\frac{1}{b}$，b+$\frac{1}{c}$，c+$\frac{1}{a}$中至少有一个不大于-2．

Answer 1

分析 首先根据题意，通过反证法假设$a+\frac{1}{b}，b+\frac{1}{c}，c+\frac{1}{a}$中没有一个不大于-2，得出$a+\frac{1}{b}＞-2$，$b+\frac{1}{c}＞-2$，$c+\frac{1}{a}＞-2$，即$（a+\frac{1}{a}）+（b+\frac{1}{b}）+（c+\frac{1}{c}）＞-6$，然后根据基本不等式，得出$（a+\frac{1}{a}）+（b+\frac{1}{b}）+（c+\frac{1}{c}）≤-6$，相互矛盾，即可证明．

解答 证明：假设$a+\frac{1}{b}，b+\frac{1}{c}，c+\frac{1}{a}$中没有一个不大于-2（2分）
即：$a+\frac{1}{b}＞-2$，$b+\frac{1}{c}＞-2$，$c+\frac{1}{a}＞-2$（4分）
所以有$（a+\frac{1}{b}）+（b+\frac{1}{c}）+（c+\frac{1}{a}）＞-2-2-2$
即$（a+\frac{1}{a}）+（b+\frac{1}{b}）+（c+\frac{1}{c}）＞-6$（6分）
又因为a＜0，b＜0，c＜0，则-a＞0，-b＞0，-c＞0
所以有$（-a）+（-\frac{1}{a}）≥2\sqrt{（-a）（-\frac{1}{a}）}=2$，（当且仅当$-a=-\frac{1}{a}$即a=-1时取等号）
$（-b）+（-\frac{1}{b}）≥2\sqrt{（-b）（-\frac{1}{b}）}=2$，（当且仅当$-b=-\frac{1}{b}$即b=-1时取等号）
$（-c）+（-\frac{1}{c}）≥2\sqrt{（-c）（-\frac{1}{c}）}=2$，（当且仅当$-c=-\frac{1}{c}$即c=-1时取等号）
所以 $a+\frac{1}{a}≤-2$，$b+\frac{1}{b}≤-2$，$c+\frac{1}{c}≤-2$（（8分））
所以$（a+\frac{1}{a}）+（b+\frac{1}{b}）+（c+\frac{1}{c}）≤-6$（当且仅当2时取等号）
与$（a+\frac{1}{a}）+（b+\frac{1}{b}）+（c+\frac{1}{c}）＞-6$矛盾
所以假设错误，原命题正确．
所以$a+\frac{1}{b}，b+\frac{1}{c}，c+\frac{1}{a}$中至少有一个不大于-2（10分）

点评 本题考查反证法的应用，涉及不等式的证明与基本不等式的应用，属于中档题．