Question

20．已知函数f（x）=2sinx（$\sqrt{3}$cosx+sinx）-2
（Ⅰ）若点P（$\sqrt{3}$，-1）在角α的终边上，求f（α）的值
（Ⅱ）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，求f（x）的最值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，由三角函数定义可取α=-$\frac{π}{6}$，代值计算可得f（α）；
（Ⅱ）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]和不等式的性质以及三角函数值域可得．

解答 解：（Ⅰ）由三角函数公式化简可得：
f（x）=2sinx（$\sqrt{3}$cosx+sinx）-2
=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2sin²x-2=
$\sqrt{3}$sin2x-cos2x-1
=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，
∵点P（$\sqrt{3}$，-1）在角α的终边上，
∴tanα=$\frac{-1}{\sqrt{3}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可取α=-$\frac{π}{6}$
∴f（α）=2sin（-$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{6}$）-1=-3；
（Ⅱ）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴2sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1∈[-2，1]，
∴f（x）的最小值为-2，最大值为1．

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的定义和三角函数的最值，属中档题．