Question

10．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，a+c=4，（2-cosA）tan$\frac{B}{2}$=sinA，则△ABC的面积的最大值为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 使用半角公式化简条件式，利用正弦定理得出a，b，c的关系，使用海伦公式和基本不等式得出面积的最大值．

解答 解：在△ABC中，∵（2-cosA）tan$\frac{B}{2}$=sinA，∴（2-cosA）$•\frac{sinB}{1+cosB}$=sinA，
即2sinB=sinA+sinAcosB+cosAsinB=sinA+sinC，
∴2b=a+c=4，∴b=2．
∵a+c=4，∴a=4-c．
∴S=$\sqrt{3（3-a）（3-b）（3-c）}$=$\sqrt{3（3-c）（c-1）}$
∵（3-c）（c-1）≤$（\frac{3-c+c-1}{2}）^{2}$=1，
∴S≤$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正弦定理，三角函数化简，三角形的面积公式，属于中档题．