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    【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，直线l经过与椭圆交于P，Q两点.当与y轴的交点是线段的中点时，.

    （1）求椭圆的方程；

    （2）设直线l不垂直于x轴，若满足，求t的取值范围.

    【答案】（1）；（2）

    【解析】

    （1）根据椭圆的离心率及通径即可得的等量关系,进而求得的值,即可得椭圆的标准方程.

    （2）当l与x轴重合时易得,当不与x轴平行时,设,,.联立椭圆方程,由韦达定理表示出PQ中点,进而表示出直线的方程,用表示出,即可求得的取值范围.

    （1）当与y轴的交点是的中点时,轴,PQ为通径

    由

    得,,

    椭圆方程

    （2）当l与x轴重合,PQ为长轴二端点,T为原点,此时

    否则设,由题意,代入椭圆方程

    ,恒成立

    设,,设PQ中点

    则,

    直线DT的斜率为,,,

    得

    ∴

    综上,

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    （1）求双曲线方程；

    （2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；

    （3）在（2）条件下，若M F2交双曲线另一点N，求△F1MN的面积.

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    图1

    表2技术改进后样本的频率分布表

    高度

    频数

    （1）根据图1和表2提供的信息，试从移植率的角度对培育技术改进前后的优劣进行比较；

    （2）估计培育技术未改进的基地树苗高度的平均数；

    （3）在市场中，规定高度在内的为三等苗，内的为二等苗，内的为一等苗.现从表2高度不低于的树苗样本中采用分层抽样的方法抽取株，再从这株幼苗中随机抽取株，求这株中一、二、三等苗都有的概率.

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    【题目】已知函数，其中是自然对数的底数，是函数的导数.

    （1）若是上的单调函数，求的值；

    （2）当时，求证：若，且，则.

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    【题目】图（1）为东方体育中心，其设计方案侧面的外轮廓线如图（2）所示；曲线是以点为圆心的圆的一部分，其中，曲线是抛物线的一部分；且恰好等于圆的半径，与圆相切且.

    （1）若要求米，米，求与的值；

    （2）当时，若要求不超过45米，求的取值范围.

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    【题目】在平面直角坐标系中，的参数方程为（t为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.

    （1）求的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

    （2）求曲线C上的点到距离的最大值及该点坐标.

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    【题目】已知椭圆的长轴长是短轴长的两倍，焦距为．

    （1）求椭圆的标准方程；

    （2）不过原点的直线与椭圆交于两点、，且直线、、的斜率依次成等比数列，问：直线是否定向的，请说明理由．

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    【题目】如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关.炮弹的射程是指炮弹落地点的横坐标.

    （1）求炮的最大射程；

    （2）若规定炮弹的射程不小于6千米，设在此条件下炮弹射出的最大高度为，求的最小值.

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    【题目】某中学随机抽取部分高一学生调査其每日自主安排学习的时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成如图所示的频率分布直方图，其中自主安排学习时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100].

    （1）求直方图中x的值；

    （2）现采用分层抽样的方式从每日自主安排学习时间不超过40分钟的学生中随机抽取6人，若从这6人中随机抽取2人进行详细的每日时间安排调查，求抽到的2人每日自主安排学习时间均不低于20分钟的概率.

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