Question

【题目】已知椭圆,其左右顶点分别为,,上下顶点分别为,.圆是以线段为直径的圆.

(1)求圆的方程;

(2)若点,是椭圆上关于轴对称的两个不同的点,直线,分别交轴于点,求证:为定值;

(3)若点是椭圆Γ上不同于点的点,直线与圆的另一个交点为.是否存在点,使得?若存在,求出点的坐标,若不存在,说明理由.

Answer 1

【答案】（1）=;（2）；（3）不存在点,使得，见解析

【解析】

(1)由题意得:,,即可求出圆的方程;

(2)由题意可知:,,设,则,,求出直线的方程是,从而求出点坐标,同理求出点坐标,再利用点在椭圆上,坐标满足椭圆方程,即可化简出为定值;

(3)显然直线的斜率存在,设其方程为:=,代入椭圆方程得到=,再利用根与系数的关系和弦长公式求出的长,再利用构造直角三角形用勾股定理算出的长,假设存在点,使得,则=,所以,化简得:=,此方程在实数范围内无解,故原假设错误,即不存在点,使得.

（1）由题意得:,,

∴ 圆的圆心为原点,半径为,

∴ 圆的方程是=;

（2）由题意可知:,,设,则,,

∴ 直线的方程是:,∴点,同理点,

又∵ 点在椭圆上,∴

∴ ,

（3）显然直线的斜率存在,设其方程为:=,

联立方程,化简得:=,

设,则,

所以,

因为圆心到直线的距离,

所以=,

假设存在点,使得,则=,

所以,化简得:=,此方程在实数范围内无解,

故原假设错误,即不存在点,使得.