【题目】如图,在三棱锥D﹣ABC中,O为线段AC上一点,平面ADC⊥平面ABC,且△ADO,△ABO为等腰直角三角形,斜边AO=4.
(Ⅰ)求证:AC⊥BD;
(Ⅱ)将△BDO绕DO旋转一周,求所得旋转体的体积.
【答案】(Ⅰ)证明见解析 (Ⅱ)16π
【解析】
(Ⅰ)推导出,取AO中点E,连结DEBE,,则
,从而 AC⊥平面BDE ,即可得证(Ⅱ)由题意将△BDO绕DO旋转一周,所得到的旋转体是以2
为底面半径,2为高的两公共底面的锥,即可求出旋转体的体积.
(Ⅰ)证明:∵△ADO,△ABO为等腰直角三角形,斜边AO=4.
∴DO⊥AD,BO⊥AB,AD=DO=AB=BO=4,
取AO中点E,连结DEBE,如图,
则DE⊥AC,BE⊥AC,且DE∩BE=E,
∴AC⊥平面BDE,
又BD平面BDE,∴AC⊥BD.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知DE⊥AC,
∵平面ADC⊥平面ABC,且平面ADC∩平面ABC=AC,
∴DE⊥平面ABC,∴△BDE是直角三角形,
∵△ADO,△ABO是直角三角形,斜边AO=4,
∴BO=DO=4,DE=2,BE=2
,
∴将△BDO绕DO旋转一周,所得到的旋转体是以2为底面半径,2为高的两公共底面的锥,
∴将△BDO绕DO旋转一周所得旋转体的体积为:16π.
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【题目】已知椭圆,其左右顶点分别为
,
,上下顶点分别为
,
.圆
是以线段
为直径的圆.
(1)求圆的方程;
(2)若点,
是椭圆上关于
轴对称的两个不同的点,直线
,
分别交
轴于点
,求证:
为定值;
(3)若点是椭圆Γ上不同于点
的点,直线
与圆
的另一个交点为
.是否存在点
,使得
?若存在,求出点
的坐标,若不存在,说明理由.
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【题目】已知函数其中a为常数,设e为自然对数的底数.
(1)当时,求
过切点为
的切线方程;
(2)若在区间
上的最大值为
,求a的值;
(3)若不等式恒成立,求a的取值范围.
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【题目】已知椭圆:
(
)的左右焦点分别为
,
,点
在椭圆
上,且
.
(1)求椭圆的方程;
(2)点P,Q在椭圆上,O为坐标原点,且直线
,
的斜率之积为
,求证:
为定值;
(3)直线l过点且与椭圆
交于A,B两点,问在x轴上是否存在定点M,使得
为常数?若存在,求出点M坐标以及此常数的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】对于定义在上的函数
,有下述命题:①若
是奇函数,则
的图象关于点
对称;②函数
的图象关于直线
对称,则
为偶函数;③若对
,有
,则2是
的一个周期;④函数
与
的图象关于直线
对称.其中正确的命题是______.(写出所有正确命题的序号)
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【题目】某公司生产的某批产品的销售量万件(生产量与销售量相等)与促销费用
万元满足
(其中
,
为正常数).已知生产该产品还需投入成本
万元(不含促销费用),产品的销售价格定为
元
件.
(1)将该产品的利润万元表示为促销费用
万元的函数;
(2)促销费用投入多少万元时,该公司的利润最大?
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