Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D是BC的中点．
（Ⅰ）求证：AD⊥平面BCC₁B₁； 
（Ⅱ）求证：A₁C∥平面AB₁D．

Answer 1

分析：（1）根据正棱柱的性质，得到CC₁⊥平面ABC，得CC₁⊥AD，正三角形ABC中利用“三线合一”证出AD⊥BC，利用线面垂直判定定理即可证出AD⊥面BCC₁B₁．
（2）连结A₁B，交AB₁于E，连接DE，△A₁BC中利用中位线定理证出DE∥A₁C，利用线面平行判定定理即可证出
A₁C∥平面AB₁D．

解答：证明：（1）∵棱柱ABC-A₁B₁C₁为正三棱柱
∴CC₁⊥平面ABC，
又∵AD?平面ABC，∴CC₁⊥AD
又∵正三角形ABC中，D是BC的中点．
∴AD⊥BC
∵BC∩CC₁=C，∴AD⊥面BCC₁B₁．
（2）连结A₁B，交AB₁于E，连接DE，
∵D为BC的中点，E是A₁B的中点，
∴DE∥A₁C且DE=

1

2

A₁C
又∵A₁C?平面AB₁D，DE?平面AB₁D．
∴A₁C∥平面AB₁D．

点评：本题在正三棱柱中证明线面垂直和线面平行，着重考查了正棱柱的性质、线面垂直平行的判定与性质等知识，属于中档题．