Question

12．求函数y=5-x+$\sqrt{3x-1}$的值域．

Answer 1

分析 带根号，可考虑换元去根号：可令$\sqrt{3x-1}=t$，t≥0，从而可解出x并带入原函数解析式，即可得到关于t的二次函数，从而可配方求该二次函数的值域即可．

解答 解：令$\sqrt{3x-1}=t$，t≥0，则x=$\frac{{t}^{2}+1}{3}$；
∴$y=5-\frac{{t}^{2}+1}{3}+t$=$-\frac{1}{3}（t-\frac{3}{2}）^{2}+\frac{65}{12}$；
∵t≥0；
∴$-\frac{1}{3}（t-\frac{3}{2}）^{2}+\frac{65}{12}≤\frac{65}{12}$；
∴该函数的值域为（$-∞，\frac{65}{12}$]．

点评 考查函数值域的概念，以及换元的方法去掉函数解析式中的根号，注意确定换元后新变量的范围，以及配方法求二次函数的值域．