Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=2，E、F分别为AB、PC的中点．
（1）求异面直线PA与BF所成角的正切值．
（2）求证：EF⊥平面PCD．

Answer 1

分析：（1）求两异面直线的夹角的方法有线段变化平移与线段不变化平移，平移线段后组成三角形，再利用解三角形的方法求解两异面直线的夹角的三角函数值．
（2）直线与平面垂直的判定是直线垂直于平面内的两条相交直线，注意线面垂直于线线垂直的相互转化．

解答：解：（1）如图，连接AC
过点F作FO⊥面AC，交AC于点O，
∴FO⊥面ABCD
∵PA⊥平面ABCD，
∴FO∥PA且FO=

1

2

PA
连接BO，FB
∴∠BFO为异面直线PA与BF所成的角
在Rt△BOF中，OF=

1

2

PA=1，
OB=

2

，则tanBFO=

OB

OF

=

2

（2）连接OE、CE、PE．
∵E是AB的中点，
∴OE⊥AB
又FO⊥平面ABCD，
∴EF⊥AB．
∵AB∥CD
∴EF⊥CD
在Rt△PAE和Rt△CBE中，PA=CB，AE=BE，
∴Rt△PAE≌Rt△CBE，
∴PE=CE
∴又F为PC的中点，
∴EF⊥PC．故EF⊥平面PCD．

点评：在立体几何中线面，线线的平行与垂直关系是经常考查的问题，以及线面角，线线角在高考中占分比较重．