Question

【题目】已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于点K，过点K作圆（x﹣5）2+y2=9的两条切线，切点为M，N，|MN|=3
（1）求抛物线E的方程；
（2）设A，B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且 （其中O为坐标原点）．
①求证：直线AB必过定点，并求出该定点Q的坐标；
②过点Q作AB的垂线与抛物线交于G，D两点，求四边形AGBD面积的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知可得K（﹣ ，0），圆C：（x﹣5）2+y2=9的圆心C（5，0），半径r=3．

设MN与x轴交于R，由圆的对称性可得|MR|=

于是|CR|= ，

即有|CK|= =6，

即有5+ =6，解得p=2，则抛物线E的方程为y2=4x

（2）证明①：设直线AB：x=my+t，A（ ，y1），B（ ，y2），

联立抛物线方程可得y2﹣4my﹣4t=0，

y1+y2=4m，y1y2=﹣4t，

，即有 +y1y2= ，

解得y1y2=﹣18或2（舍去），

即﹣4t=﹣18，解得t= ．

则有AB恒过定点Q（ ，0）；

②解：由①可得|AB|= |y2﹣y1|= ，

同理|GD|= ，

则四边形AGBD面积S= |AB||GD|=4 ，

令m2+ =μ（μ≥2），则S=4 是关于μ的增函数，

则当μ=2时，S取得最小值，且为88．

当且仅当m=±1时，四边形AGBD面积的最小值为88

【解析】（1）求得K的坐标，圆的圆心和半径，运用对称性可得MR的长，由勾股定理和锐角的三角函数，可得CK=6，再由点到直线的距离公式即可求得p=2，进而得到抛物线方程；（2）①设出直线方程，联立抛物线方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，化简整理，即可得到定点Q；
②运用弦长公式和四边形的面积公式，换元整理，结合基本不等式，即可求得最小值．