Question

1．若x，y∈R，且3x²+2y²=2x，则x²+y²的最大值是$\frac{4}{9}$．

Answer 1

分析 由条件可得y²=$\frac{1}{2}$（2x-3x²）≥0，解得0≤x≤$\frac{2}{3}$，由代入法，可得x²+y²=x²+$\frac{1}{2}$（2x-3x²），配方，结合二次函数的对称轴和区间的关系，即可得到所求最大值．

解答 解：3x²+2y²=2x，可得
y²=$\frac{1}{2}$（2x-3x²）≥0，
解得0≤x≤$\frac{2}{3}$，
则x²+y²=x²+$\frac{1}{2}$（2x-3x²）
=$\frac{1}{2}$（2x-x²）=$\frac{1}{2}$[-（x-1）²+1]，
由对称轴为x=1，
区间[0，$\frac{2}{3}$]在对称轴的左边，为增区间，
可得x=$\frac{2}{3}$时，取得最大值$\frac{4}{9}$．
故答案为：$\frac{4}{9}$．

点评 本题考查最值的求法，注意运用代入消元法和配方法，运用二次函数的最值求法，考查运算能力，属于中档题．