Question

11．如图所示，已知椭圆C：$\frac{x^2}{4}$+y²=1的左、右焦点分别为F₁，F₂，点M与C的焦点不重合，分别延长MF₁，MF₂到P，Q，使得$\overrightarrow{M{F_1}}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{{F_1}P}$，$\overrightarrow{M{F_2}}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{{F_2}Q}$，D是椭圆C上一点，延长MD到N，若$\overrightarrow{QD}$=$\frac{3}{5}$$\overrightarrow{QM}$+$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{QN}$，则|PN|+|QN|=（　　）

• A． 10
• B． 5
• C． 6
• D． 3

Answer 1

分析 由向量线性运算的几何意义可得$\frac{MD}{DN}=\frac{M{F}_{2}}{{F}_{2}G}=\frac{M{F}_{1}}{{F}_{1}P}=\frac{2}{3}$，故而DF₂∥QN，DF₁∥PN，于是$\frac{D{F}_{2}}{QN}=\frac{D{F}_{1}}{PN}=\frac{2}{5}$，于是$|PN|+|QN|=\frac{5}{2}|D{F_1}|+\frac{5}{2}|D{F_2}|$=5a．

解答 解：∵$\overrightarrow{QD}=\frac{3}{5}\overrightarrow{QM}+\frac{2}{5}\overrightarrow{QN}$，即$\overrightarrow{QM}+\overrightarrow{MD}=\frac{3}{5}\overrightarrow{QM}+\frac{2}{5}\overrightarrow{QN}$，
∴$\overrightarrow{MD}=\frac{2}{5}\overrightarrow{QN}-\frac{2}{5}\overrightarrow{QM}=\frac{2}{5}\overrightarrow{MN}$，∴$\frac{{\overrightarrow{MD}}}{{\overrightarrow{MN}}}=\frac{2}{5}$，
又$\overrightarrow{M{F_1}}=\frac{2}{3}\overrightarrow{{F_1}P}$，$\overrightarrow{M{F_2}}=\frac{2}{3}\overrightarrow{{F_2}Q}$，∴$\frac{{\overrightarrow{M{F_1}}}}{{\overrightarrow{MP}}}=\frac{2}{5}$，$\frac{{\overrightarrow{M{F_2}}}}{{\overrightarrow{MQ}}}=\frac{2}{5}$，
∴$\frac{{\overrightarrow{MD}}}{{\overrightarrow{MN}}}=\frac{{\overrightarrow{M{F_1}}}}{{\overrightarrow{MP}}}=\frac{{\overrightarrow{M{F_2}}}}{{\overrightarrow{MQ}}}=\frac{2}{5}$，
∴DF₂∥NQ，DF₁∥NP，
∴$\frac{{|D{F_2}|}}{|QN|}=\frac{2}{5}$，$\frac{{|D{F_1}|}}{|PN|}=\frac{2}{5}$，∴$|PN|+|QN|=\frac{5}{2}|D{F_1}|+\frac{5}{2}|D{F_2}|$，
根据椭圆的定义，得|DF₁|+|DF₂|=2a=4，
∴$|PN|+|QN|=\frac{5}{2}×4=10$，
故选A．

点评 本题考查了椭圆的性质，向量数乘的几何意义，属于中档题．