Question

已知圆C的半径为2，圆心C在直线y=x-1上．
（Ⅰ）若圆心C也在直线x-2y=0上．
（ⅰ）求圆C的方程；
（ⅱ）若直线l：y=kx+1与圆C交于M，N两点，且

CM

•

CN

=2，求实数k的值．
（Ⅱ）已知A（0，3），若圆C上存在点P，使|PA|=2|PO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：

分析：（Ⅰ）（ⅰ）由

y=x-1 x-2y=0

可得圆心C坐标，根据圆的半径，可得圆C的方程；
（ⅱ）利用

CM

•

CN

=2，求出∠MCN=60°，可得C到直线的距离为

3

，即可求实数k的值．
（Ⅱ）设P（x，y），由|PA|=2|PO|，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点P的轨迹为以（0，-1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，由P在圆C上，得到圆C与圆D相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范围．

解答： 解：（Ⅰ）（ⅰ）由

y=x-1 x-2y=0

可得

x=2 y=1

，即C（2，1），
∵圆C的半径为2，
∴圆C的方程为（x-2）²+（y-1）²=4；
（ⅱ）∵

CM

•

CN

=2，
∴2•2•cos∠MCN=2，
∴cos∠MCN=

1

2

，
∴∠MCN=60°，
∴C到直线的距离为

3

，
∴

|2k|

k2+1

=

3

，
∴k=±

3

；
（Ⅱ）设点P（x，y），由|PA|=2|PO|，知：

x2+(y-3)2

=2

x2+y2

，
化简得：x²+（y+1）²=4，
∴点P的轨迹为以（0，-1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，
又∵点M在圆C上，
∴圆C与圆D的关系为相交或相切，
∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=

a2+(2a-3)2

，
∴1≤

a2+(2a-3)2

≤3，
解得：0≤a≤

12

5

．

点评：此题考查点到直线的距离公式，以及圆与圆的位置关系的判定，涉及的知识有：两直线的交点坐标，直线的点斜式方程，两点间的距离公式，圆的标准方程，是一道综合性较强的试题．