Question

如图点O是边长为1的等边三角形ABC的边BC中线AD上一点，且|AO|=2|OD|，过O的直线交边AB于M，交边AC于N，记∠AOM=θ，
（1）则θ的取值范围为

[

π

3

，

2π

3

]

（2）

1

|OM|2

+

1

|ON|2

的最小值为

15

．

Answer 1

分析：（1）由题意可得，点O为等边三角形ABC的重心，当点N与点C重合时，θ最小，由cosθ=

MO

AO

，可得θ的值．当M与B重合时，θ取得最大值，由于cos（π-θ）=

ON

AO

，可得θ的值，从而求得θ的取值范围．
（2）先求得AO=

2

3

AD的值，设∠ANO=α，则∠AMO=

2π

3

-α．△ANO中，由正弦定理求得 ON=

3

6sinα

，同理求得 OM=

3

6Sin( 2π 3 -α)

，计算

1

|OM|2

+

1

|ON|2

=12+6cos（2α+

π

3

）．由

π

3

≤

5π

6

-（

2π

3

-α）≤

2π

3

，求得α的范围，利用余弦函数的定义域和值域求得12+6cos（2α+

π

3

） 的最小值．

解答：解：（1）由题意可得，点O为等边三角形ABC的重心，
当点N与点C重合时，MN与AB垂直，M为AB的中点，OM取得最小值，
此时，θ最小，由cosθ=

MO

AO

=

1

2

，可得θ=

π

3

．
当M与B重合时，此时，MN垂直于AC，θ取得最大值，由于cos（π-θ）=

ON

AO

=

1

2

，可得θ=

2π

3

．
综上可得，θ的取值范围为[

π

3

，

2π

3

]．
（2）由题意可得，AO=

2

3

AD=

2

3

×

3

2

=

3

3

；设∠ANO=α，则∠AMO=

2π

3

-α．
△ANO中，由余弦定理可得

ON

sin30°

=

AO

sinα

，解得 ON=

3

6sinα

．
同理求得 OM=

3

6Sin( 2π 3 -α)

．
∴

1

|OM|2

+

1

|ON|2

=

36sin2( 2π 3 -α)

3

+

36sin2α

3

 
=12×

1-cos( 4π 3 -2α)

2

+12×

1-cos2α

2

=12-6[cos（

4π

3

-2α）+cos2α]
=12+6cos（2α+

π

3

）．
由（1）可得

π

3

≤

5π

6

-（

2π

3

-α）≤

2π

3

，可得

π

3

≤2α≤π，
∴

2π

3

≤2α+

π

3

≤π+

π

3

，
-1≤cos（2α+

π

3

）≤-

1

2

，故当2α+

π

3

=π 时，cos（2α+

π

3

） 取得最小值为-1，
12+6cos（2α+

π

3

） 取得最小值为 12-6=6，
故答案为 6．

点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，余弦函数的定义域和值域，属于难题．