Question

对于函数，若存在 ，使成立，则称点为函数的不动点。
（1）已知函数有不动点（1，1）和（-3，-3）求与的值；
（2）若对于任意实数，函数总有两个相异的不动点，求 的取值范围；
（3）若定义在实数集R上的奇函数存在（有限的） 个不动点，求证：必为奇数。

Answer 1

（1），（2）（3）见解析

（1）由不动点的定义：，∴…….1’
代入知，又由及知。……………………...2’
∴，。          …………………………....................1’
（2）对任意实数，总有两个相异的不动点，即是对任意的实数，方程总有两个相异的实数根。...........1’
∴中，
即恒成立。………………………....................2’
故，∴。………….........................2’
故当时，对任意的实数，方程总有两个相异的不动点。 ………...................1’
（3）是R上的奇函数，则，∴（0，0）是函数的不动点。 ……..................1’
若有异于（0，0）的不动点，则。
又，∴是函数的不动点。
∴的有限个不动点除原点外，都是成对出现的，        ..........................4’
所以有个（），加上原点，共有个。即必为奇数