Question

已知函数f（x）=2

3

sin（x+

π

4

）cos（x+

π

4

）-sin（2x-π）．
（1）求f（x）的单调增区间；
（2）若将函数f（x）的图象向右平移

π

3

个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,正弦函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据二倍角公式、诱导公式、两角和的正弦公式化简解析式，再由正弦函数的增区间求出f（x）的增区间；
（2）根据图象的平移法则求出g（x）的解析式，由x的范围求得-

π

3

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，再由正弦函数得性质求出g（x）的最值．

解答： 解：（1）由题意得，f（x）=2

3

sin（x+

π

4

）cos（x+

π

4

）-sin（2x-π）
=

3

sin2（x+

π

4

）+sin2x=

3

cos2x+sin2x
=2sin(2x+

π

3

)，
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ(k∈Z)得，
-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ(k∈Z)，
所以f（x）的单调增区间是[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ](k∈Z)；
（2）将函数f（x）的图象向右平移

π

3

个单位，得到函数g（x）的图象，
则g（x）=2sin[2(x-

π

3

)+

π

3

]=2sin(2x-

π

3

)，
由0≤x≤

π

2

得，-

π

3

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，
当2x-

π

3

=-

π

3

时，即x=0时，g（x）取最小值是-

3

，
当2x-

π

3

=

π

2

时，即x=

5π

12

时，g（x）取最大值是2
所以函数g（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值和最小值是2、-

3

．

点评：本题考查二倍角公式、诱导公式、两角和的正弦公式，以及正弦函数的性质的综合应用，属于中档题．