Question

20．已知函数f（x）=|x-m|（m＞0），g（x）=2f（x）-f（x+m），g（x）的最小值为-1．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若|a|＜m，|b|＜m，且a≠0．求证：f（ab）＞|a|f（$\frac{b}{a}$）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数f（x）=|x-m|（m＞0），可得函数g（x）的解析式，进而构造方程，可得m的值；
（Ⅱ）若|a|＜m，|b|＜m，要证f（ab）＞|a|f（$\frac{b}{a}$）．即证|ab-1|＞|a-b|平方可得结论．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=|x-m|（m＞0），
∴g（x）=2f（x）-f（x+m）=$\left\{\begin{array}{l}-x+2m，x≤0\\-3x+2m，0＜x≤m\\ x-2m，x＞m\end{array}\right.$，
故当x=m时，函数取最小值-m=-1，
解得：m=1；
（Ⅱ）证明：要证f（ab）＞|a|f（$\frac{b}{a}$）．
即证|ab-1|＞|a-b|，
∵|a|＜1，|b|＜1，
∴（ab-1）²-（a-b）²=（a²b²-2ab+1）-（a²-2ab+b²）=（a²-1）（b²-1）＞0，
即（ab-1）²＞（a-b）²，
∴|ab-1|＞|a-b|，
∴f（ab）＞|a|f（$\frac{b}{a}$）

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的最值，难度中档．