Question

已知双曲线的中心在原点，坐标轴为对称轴，一条渐近线方程y=x，右焦点F（5，0），双曲线的实轴为A₁A₂，P为双曲线上一点（不同于A₁，A₂），直线A₁P，A₂P分别与直线l：交于M，N两点，
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）求证：为定值。

Answer 1

解：（Ⅰ）依题意可设双曲线方程为，
则，
∴所求双曲线方程为；
（Ⅱ）A₁（-3，0），A₂（3，0），F（5，0），
设P（x，y），，
∴（x+3，y），，
∵A₁，P，M三点共线，
∴，
∴，即，
同理得，
∴，，
 ，
，
∴，
∴，
即=0（定值）。