Question

8．已知函数f（x）=sinωx-cosωx（ω＞0），z∈R，若函数f（x）在（-ω，ω）上是增函数，且图象关于直线x=-ω对称，则ω=$\frac{\sqrt{π}}{2}$．

Answer 1

分析 利用三角函数的单调性、对称性即可得出．

解答 解：函数f（x）=sinωx-cosωx=$\sqrt{2}$$sin（ωx-\frac{π}{4}）$（ω＞0），z∈R，
∵函数f（x）在（-ω，ω）上是增函数，
∴2kπ-$\frac{π}{2}$≤ωx-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间为：$[\frac{2kπ-\frac{π}{4}}{ω}，\frac{2kπ+\frac{3π}{4}}{ω}]$，k∈Z，
∴可得：-ω≥$\frac{2kπ-\frac{π}{4}}{ω}$，ω≤$\frac{2kπ+\frac{3π}{4}}{ω}$，k∈Z，
解得：0＜ω²≤$\frac{π}{4}-2kπ$，且0＜ω²≤2kπ+$\frac{3π}{4}$，k∈Z，
解得：$-\frac{3}{8}$＜k＜$\frac{1}{8}$，k∈Z，
∴可解得：k=0，
又图象关于直线x=-ω对称，
∴$sin（-{ω}^{2}-\frac{π}{4}）$=±1，
∴ω²+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k=0，ω＞0．
解得ω=$\frac{\sqrt{π}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{π}}{2}$．

点评 本题考查了三角函数的单调性对称性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．