Question

5．如图，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，求证：
（1）BC⊥平面PAB；
（2）平面AEF⊥平面PBC．

Answer 1

分析 （1）由线面垂直得到线线垂直，再由∠ABC=90°得到AB⊥BC，再由线面垂直的判定得答案；
（2）由线面垂直得到面面垂直，再由已知结合面面垂直的性质可得AE⊥平面PBC，最后由面面垂直的判定得答案．

解答 证明：（1）∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC，
又∠ABC=90°，∴AB⊥BC，
而PA∩AB=A，
∴由线面垂直的判断可得BC⊥平面PAB；
（2）由（1）知，BC⊥平面PAB，
而BC?平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC=PB，
又AE⊥PB于E，∴AE⊥平面PBC，
而AE?平面AEF，
∴平面AEF⊥平面PBC．

点评 本题考查直线与平面垂直、平面与平面垂直的判断，考查空间想象能力和思维能力，属中档题．