Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，其左、右焦点为F₁、F₂，点P是坐标平面内一点，且|OP|=

15

2

，

PF1

•

PF2

=

3

4

，其中O为坐标原点．Q为椭圆的左顶点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点S（-

6

5

，0），且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，是否存在直线l，使得VQAB为等腰三角形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设出P点坐标，由|OP|=

15

2

得关系式，再由

PF1

•

PF2

=

3

4

得关系式，两式联立求出c，再由离心率求得a，结合b²=a²-c²求出b，则椭圆方程可求；
（2）设出直线l的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数关系求出A，B两点的横坐标的和，由中点坐标公式求出A，B的中点，若否存在直线l，使得△QAB为等腰三角形，则AB中点与Q的连线与AB垂直，由斜率之积等于-1列式求k的值，此时得到了矛盾式子，说明使得△QAB为等腰三角形的直线l不存在．

解答：解：（1）设P（x₀，y₀），∵|OP|=

15

2

，∴x02+y02=

15

4

①
又

PF1

•

PF2

=

3

4

，∴(-c-x0，-y0)•(c-x0，-y0)=

3

4

，即x02-c2+y02=

3

4

②
①代入②得：c=

3

．又e=

3

2

，∴a=2，b=1．
故所求椭圆方程为

x2

4

+y2=1；
（2）直线l的方程为y=k(x+

6

5

)，
联立

y=k(x+ 6 5 ) x2 4 +y2=1

，得（25+100k²）x²+240k²x+144k²-100=0．
x1+x2=-

240k2

25+100k2

，x1x2=

144k2-100

25+100k2

．
设AB的中点M（x₀，y₀），
则x0=-

120k2

25+100k2

，y0=k(

6

5

-

120k2

25+100k2

)=

30k

25+100k2

．
所以kMQ=

30k 25+100k2

2- 120k2 25+100k2

=

3k

5+8k2

．
若三角形QAB为等腰三角形，则MQ⊥AB，
即

3k

5+8k2

•k=-1，此式无解，
所以使得△QAB为等腰三角形的直线l不存在．

点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法，训练了一元二次方程的根与系数关系，考查了学生的运算能力，是难题．