Question

【题目】已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，a=2bcosB，b≠c．
（1）证明：A=2B；
（2）若a2+c2=b2+2acsinC，求A．

Answer 1

【答案】
（1）证明：△ABC中，a=2bcosB，

由 ，得sinA=2sinBcosB=sin2B，

∵0＜A，B＜π，

∴sinA=sin2B＞0，

∴0＜2B＜π，

∴A=2B或A+2B=π，

若A+2B=π，则B=C，b=c这与“b≠c”矛盾，

∴A+2B≠π；

∴A=2B

（2）解：∵a2+c2=b2+2acsinC，

∴ ，

由余弦定理得cosB=sinC，

∵0＜B，C＜π，

∴ 或 ，

①当 时，则 ，

这与“b≠c”矛盾，∴ ；

②当 时，由（1）得A=2B，

∴ ，

∴ ．

【解析】（1）由正弦定理和正弦函数的性质，即可证明A=2B成立；（2）由余弦定理和正弦、余弦函数的性质，化简求值即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解正弦定理的定义的相关知识，掌握正弦定理:，以及对余弦定理的定义的理解，了解余弦定理:;;．