Question

已知函数f（x）=ln（2+3x）-x²．
（1）求函数y=f（x）的极大值；
（2）令g（x）=f（x）+x²+（m-1）x（m为实常数），试判断函数g（x）的单调性；
（3）若对任意x∈，不等式|a-lnx|+ln[f′（x）+3x]＞0均成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=ln（2+3x）-x²，∴函数y=f（x）的定义域为（）．
由=，得x=，
当x∈时，f^′（x）＞0，当x∈时，f^′（x）＜0．
∴y=f（x）在上为增函数，在上为减函数，
∴函数f（x）的极大值为．
（2）由g（x）=f（x）+x²+（m-1）x，
得g（x）=ln（2+3x）+（m-1）x （x＞），
所以．
①当m-1=0，即m=1时，，∴g（x）在上为增函数；
②当m-1≠0，即m≠1时，．
由g^′（x）=0，得：，∵，
∴1°若m＞1，则，，∴x＞-时，g^′（x）＞0，∴g（x）在上为增函数；
2°若m＜1，则，∴当x∈时，g^′（x）＞0；当x∈时，
g^′（x）＜0，∴g（x）在上为增函数，在上为减函数．
综上可知，当m≥1时，g（x）在上为增函数；
当m＜1时，g（x）在上为增函数，在上为减函数．
（3）∵，
由|a-lnx|+ln[f^′（x）+3x]＞0，得：，
∵x∈，∴0≤，而|a-lnx|≥0，
∴要对任意，不等式|a-lnx|+ln[f^′（x）+3x]＞0均成立，
须与|a-lnx|不同时为0．
因当且仅当时，=0，所以为满足题意必有，即a≠．
故对任意x∈，不等式|a-lnx|+ln[f′（x）+3x]＞0均成立的实数a的取值范围是{a|a}．
分析：（1）求出函数的导函数，由导函数的零点把定义域分段，判断出函数在各区间段内的单调性，从而判出函数的极值点并求出极值；
（2）把函数f（x）的解析式代入后求导，然后对m进行分类，根据m的不同范围分析导函数在不同区间内的符号，从而得到函数g（x）的单调区间；
（3）把函数f（x）的导函数代入不等式|a-lnx|+ln[f′（x）+3x]＞0的左侧，根据给出的x的范围得到ln[f′（x）+3x]恒大于等于0，而|a-lnx|恒大于等于0，所以只需把使两者同时为0的a值排除即可．
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了函数在某点取得极值的条件，考查了函数恒成立问题，连续函数在定义域内某点的两侧的单调性不同，则该点是函数的极值点，此题是中档题．