Question

已知△ABC的角A，B，C所对的边a，b，c，且acosC+

1

2

c=b．
（1）求角A的大小；
（2）若a=2，S△ABC=

3

，判断这时三角形的形状．

Answer 1

分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后求出cosA的值，由A为三角形内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（2）利用三角形面积公式列出关系式，将sinA与已知面积代入求出bc的值，再利用余弦定理列出关系式，将a，cosA及bc的值代入求出b+c的值，联立求出b与c的值，即可做出判断．

解答：解．（1）由正弦定理化简已知等式得sinAcosC+

1

2

sinC=sinB，
∴sinAcosC+

1

2

sinC=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，即

1

2

sinC=cosAsinC，
∵sinC≠0，
∴cosA=

1

2

，
又A为三角形内角，
∴A=

π

3

；
（2）∵S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

4

bc=

3

，∴bc=4，
∵a=2，
∴由余弦定理得4=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=（b+c）²-12，
∴b+c=4，
解得：a=b=c=2，
则△ABC为正三角形．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，两角和与差的正弦函数公式，以及诱导公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．