Question

如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=2AB=2，E是线段PD上的点．
（1）若PB∥平面AEC，试确定点E在线段PD上的位置；
（2）若二面角E-AC-D的大小为45°，求PE：PD的值；
（3）在（2）的条件下，设点D在平面AEC上的射影为点Q，求点Q到直线AC的距离．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连结AC，BD，交于点O，连结OE，由O是BD中点，E是PD中点，得OE∥PB，由此能证明PB∥平面AEC．
（2）以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，设AC=a，利用向量法能求出PE：PD=1：3．
（3）E（

1

3

a，-

1

3

，

1

3

），平面AEC的法向量

n

=（0，

2

3

，

2

3

），D（a，-1，0），

DE

=（-

2

3

a，

2

3

，

1

3

），利用向量法能求出点D在平面AEC上的射影Q到直线AC的距离．

解答： 解：（1）当E为PD中点时，PB∥平面AEC．
证明如下：连结AC，BD，交于点O，连结OE，
∵ABCD是平行四边形，∴O是BD中点，
∵E是PD中点，∴OE∥PB，
∵PB?平面AEC，OE?平面AEC，
∴PB∥平面AEC．
（2）以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，AP为z轴，
建立空间直角坐标系，设AC=a，
A（0，0，0），B（0，1，0），P（0，0，2），
C（a，0，0），D（a，-1，0），
连结AD，交AC于O，连结EO，
若PB∥面AEC，则O为AC中点，且O为BD中点，
当E为PD中点时，OE∥PB，即PB∥平面AEC，
∴E为PO中点，
设

PE

PO

=λ，E（aλ，-λ，

1-λ

2

），

AE

=（aλ，-λ，

1-λ

2

），

AC

=（a，0，0），
面AEC法向量为

n

=（x，y，z），
∴

n • AE =aλx-λy+ 1-λ 2 z=0 n • AC =ax=0

，
取z=2λ，得

n

=（0，1-λ，2λ），
又面ACD的法向量

m

=（0，0，1），
∵二面角E-AC-D的大小为45°，
∴cos＜

m

，

n

＞=

2λ

(1-λ)2+4λ2

，解得λ=

1

3

，
∴PE：PD=1：3．
（3）E（

1

3

a，-

1

3

，

1

3

），平面AEC的法向量

n

=（0，

2

3

，

2

3

），D（a，-1，0），

DE

=（-

2

3

a，

2

3

，

1

3

），
∴D到平面AEC的距离d=

| n • DE |

| n |

=

2 3

2 3 2

=

2

2

，
D到AC的距离为CO=1，
∴点D在平面AEC上的射影Q到直线AC的距离为：

1-( 2 2 )2

=

2

2

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查满足二面角为45°的线段比值的求法，考查点到直线的距离的求法，解题时要注意向量法的合理运用．