Question

已知：△ABC是正三角形，EA、CD垂直平面ABC，且EA=AB=2，DC=1，F是BE中点．求证：（1）FD∥平面ABC；
（2）AF⊥平面BDE．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）过F作FO∥EA，只要证明FD∥CO即可；
（2）因为AE⊥平面ABC，AE?平面AEB，得到平面AEB⊥平面ABC，再由面面垂直的性质得到OC⊥平面ABE，进一步得到AF⊥OC，由线面垂直的判定定理可证．

解答： 证明：（1）过F作FO∥EA，因为F是EB的中点，所以O是AB的中点，所以FO∥CD，FO=CD，
所以四边形FOCD是平行四边形，所以FD∥CO，又FD?平面ABC，CO?平面ABC，
所以FD∥平面ABC；
（2）∵AE⊥平面ABC，AE?平面AEB，
∴平面AEB⊥平面ABC，
又平面AEB∩平面ABC=AB，OC⊥AB，
∴OC⊥平面ABE，AF?平面ABE，
∴AF⊥OC，DF∥OC
∴AF⊥DF又AF⊥BE，
∴AF⊥平面BDE．

点评：本题考查了线面平行的判定和线面垂直的判定，关键是熟练相关的判定定理和性质定理，将线面关系转化为线线关系解答．