【题目】已知函数
(Ⅰ)若,求证:函数
在(1,+∞)上是增函数;
(Ⅱ)求函数在[1,e]上的最小值及相应的
值.
【答案】(Ⅰ)函数f(x)在(1,+∞)上是增函数;(Ⅱ)见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)代入,求导,通过导数恒为正值进行证明;(Ⅱ)求导,通过讨论参数的取值,研究函数的极值点与所给区间的关系,进而研究函数在所给区间上的单调性和极值、最值进行求解.
试题解析:(Ⅰ)当a=﹣2时,f(x)=x2﹣2lnx,当x∈(1,+∞),,故函数f(x)在(1,+∞)上是增函数.
(Ⅱ),当x∈[1,e],2x2+a∈[a+2,a+2e2].
若a≥﹣2,f'(x)在[1,e]上非负(仅当a=﹣2,x=1时,f'(x)=0),
故函数f(x)在[1,e]上是增函数,此时[f(x)]min=f(1)=1.
若﹣2e2<a<﹣2,当时,f'(x)=0;当
时,f'(x)<0,
此时f(x)是减函数;当时,f'(x)>0,此时f(x)是增函数.
故[f(x)]min==
若a≤﹣2e2,f'(x)在[1,e]上非正(仅当a=﹣2e2,x=e时,f'(x)=0),
故函数f(x)在[1,e]上是减函数,此时[f(x)]min=f(e)=a+e2.
综上可知,当a≥﹣2时,f(x)的最小值为1,相应的x值为1;
当﹣2e2<a<﹣2时,f(x)的最小值为,相应的x值为
;
当a≤﹣2e2时,f(x)的最小值为a+e2,相应的x值为e
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度:A、B、C三地位于同一水平面上,在C处进行该仪器的垂直弹射,观测点A、B两地相距100米,∠BAC=60°,在A地听到弹射声音的时间比在B地晚
秒. A地测得该仪器弹至最高点H时的仰角为30°.
(1)求A、C两地的距离;
(2)求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音的传播速度为340米/秒)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在三棱锥V-ABC中,平面VAB平面ABC,
VAB为等边三角形,AC
BC且AC=BC=
,O,M分别为AB,VA的中点。
(I)求证:VB//平面MOC;
(II)求证:平面MOC平面VAB;
(III)求三棱锥V-ABC的体积。
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】若直线和
是异面直线,
在平面
内,
在平面
内,
是平面
与平面
的交线,则下列结论正确的是( )
A. 至少与
,
中的一条相交 B.
与
,
都不相交
C. 与
,
都相交 D.
至多与
,
中的一条相交
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