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    已知y=f（x），f(
    1
    2
    )=4    ，对任意实数x，y满足：f（x+y）=f（x）+f（y）-3．
    （Ⅰ）当n∈N*时求f（n）的表达式；
    （Ⅱ）若b1=1，bn+1=
    bn
    1+bn•f(n-1)
    (n∈N*)    ，求bn；
    （ III）记c n=
    4bn
    (n∈N*)    ，试证c1+c2+…+c2010＜89．
    分析：（Ⅰ）令x=y=
    1
    2
    ，得f(1)=f(
    1
    2
    +
    1
    2
    )=2f(
    1
    2
    )-3=5    ，由此导出f（n+1）-f（n）=2，从而求出当n∈N*时求f（n）的表达式．
    （Ⅱ）由bn+1=
    bn
    1+bn•f(n-1)
    (n∈N*)    得
    1
    bn+1
    =
    1
    bn
    +f(n-1)    =
    1
    bn
    +2n+1    ，由此能够导出bn．
    （ III）由题设条件可推出cn=
    4bn
    =
    1
    		n
    ，再由放缩法可以证明c1+c2+…+c2010＜89．
    解答：解：（Ⅰ）令x=y=
    1
    2
    ，
    得f(1)=f(
    1
    2
    +
    1
    2
    )=2f(
    1
    2
    )-3=5
    故f（n+1）=f（n）+f（1）-3=f（n）+2，
    ∴f（n+1）-f（n）=2
    当n∈N*时f（n）=f（1）+[f（2）-f（1）]+[f（3）-f（2）]++[f（n）-f（n-1）]
    =5+2（n-1）=2n+3
    （Ⅱ）由bn+1=
    bn
    1+bn•f(n-1)
    (n∈N*)
    得
    1
    bn+1
    =
    1
    bn
    +f(n-1)    =
    1
    bn
    +2n+1
    ∴
    1
    bn+1
    -
    1
    bn
    =2n+1
    故
    1
    bn
    =
    1
    b1
    +(
    1
    b2
    -
    1
    b1
    )    +(
    1
    b3
    -
    1
    b2
    )    ++(
    1
    bn
    -
    1
    bn-1
    )
    =1+3+5++（2n-1）=n2
    ∴bn=
    1
    n2
    ，n∈N*
    （ III）由（Ⅱ）知cn=
    4bn
    =
    1
    		n
    ，c1=1
    ∵
    1
    		n
    =
    2
    		n
    +
    		n
    ＜
    2
    		n
    +
    		n-1
    =2(
    		n
    -
    		n-1
    )，(n∈N*，n≥2)
    ∴c1+c2++c2010＜1+2(
    		2
    -1)+2(
    		3
    -
    		2
    )++2(
    		2010
    -
    		2009
    )
    =2
    		2010
    -1＜2×45-1=89    ．
    点评：本题考查数列的性质和综合应用，解题时要认真审题，仔细解答．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=（1+x）t-1的定义域为（-1，+∞），其中实数t满足t≠0且t≠1．直线l：y=g（x）是f（x）的图象在x=0处的切线．
    （1）求l的方程：y=g（x）；
    （2）若f（x）≥g（x）恒成立，试确定t的取值范围；
    （3）若a1，a2∈（0，1），求证：
    a
    a1
    1
    +
    a
    a2
    2
    ≥
    a
    a2
    1
    +
    a
    a1
    2
    ．
    注：当α为实数时，有求导公式（xα）′=αxα-1．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•中山一模）已知函数f(x)=
    13
    x3-ax+b    ，其中实数a，b是常数．
    （Ⅰ）已知a∈{0，1，2}，b∈{0，1，2}，求事件A：“f（1）≥0”发生的概率；
    （Ⅱ）若f（x）是R上的奇函数，g（a）是f（x）在区间[-1，1]上的最小值，求当|a|≥1时g（a）的解析式；
    （Ⅲ）记y=f（x）的导函数为f′（x），则当a=1时，对任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[0，2]使得f（x1）=f′（x2），求实数b的取值范围．

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    科目：高中数学 来源：浙江省温州中学2011－2012学年高二下学期期末考试数学理科试题 题型：013

    已知y＝f(x)是定义在R上的函数，a∈R，那么“对任意的x∈R，|f(x)|≥a恒成立”的充要条件是

    [　　]

    A．对任意的x∈R，f(x)≥a或f(x)≤－a恒成立

    B．对任意的x∈R，f(x)≥a恒成立或对任意的x∈R，f(x)≤－a恒成立

    C．对任意的x∈R，f(x)≥|a|或f(x)≤－|a|恒成立

    D．对任意的x∈R，f(x)≥a恒成立且对任意的x∈R，f(x)≥－a恒成立

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    科目：高中数学 来源：中山一模 题型：解答题

    已知函数f(x)=
    1
    3
    x3-ax+b    ，其中实数a，b是常数．
    （Ⅰ）已知a∈{0，1，2}，b∈{0，1，2}，求事件A：“f（1）≥0”发生的概率；
    （Ⅱ）若f（x）是R上的奇函数，g（a）是f（x）在区间[-1，1]上的最小值，求当|a|≥1时g（a）的解析式；
    （Ⅲ）记y=f（x）的导函数为f′（x），则当a=1时，对任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[0，2]使得f（x1）=f′（x2），求实数b的取值范围．

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    科目：高中数学 来源：2013届黑龙江虎林高中高二下学期期中理科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    已知函数f(x)＝alnx－x2＋1.

    (1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为4x－y＋b＝0，求实数a和b的值；

    (2)若a<0，且对任意x1、x2∈(0，＋∞)，都|f(x1)－f(x2)|≥|x1－x2|，求a的取值范围．

    【解析】第一问中利用f′(x)＝－2x(x>0)，f′(1)＝a－2，又f(1)＝0，所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝(a－2)(x－1)，即(a－2)x－y＋2－a＝0，

    由已知得a－2＝4,2－a＝b，所以a＝6，b＝－4.

    第二问中，利用当a<0时，f′(x)<0，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数，

    不妨设0<x1≤x2，则|f(x1)－f(x2)|＝f(x1)－f(x2)，|x1－x2|＝x2－x1，

    ∴|f(x1)－f(x2)|≥|x1－x2|等价于f(x1)－f(x2)≥x2－x1，

    即f(x1)＋x1≥f(x2)＋x2，结合构造函数和导数的知识来解得。

    (1)f′(x)＝－2x(x>0)，f′(1)＝a－2，又f(1)＝0，所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝(a－2)(x－1)，即(a－2)x－y＋2－a＝0，

    由已知得a－2＝4,2－a＝b，所以a＝6，b＝－4.

    (2)当a<0时，f′(x)<0，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数，

    不妨设0<x1≤x2，则|f(x1)－f(x2)|＝f(x1)－f(x2)，|x1－x2|＝x2－x1，

    ∴|f(x1)－f(x2)|≥|x1－x2|等价于f(x1)－f(x2)≥x2－x1，即f(x1)＋x1≥f(x2)＋x2，

    令g(x)＝f(x)＋x＝alnx－x2＋x＋1，g(x)在(0，＋∞)上是减函数，

    ∵g′(x)＝－2x＋1＝(x>0)，

    ∴－2x2＋x＋a≤0在x>0时恒成立，

    ∴1＋8a≤0，a≤－，又a<0，

    ∴a的取值范围是

     

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