Question

数列{a_n}，{b_n}分别满足an+1=

an

an+2

（n∈N^*），a₁=1
（1）求证数列{

1

an

+1}为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{n(

1

an

+1)}的前n项和S_n；
（3）若数列{a_n}的前n项和为K_n，求证：当n≥3时，Kn＞

2n

n+1

．

Answer 1

分析：（1）先根据an+1=

an

an+2

，两边取倒数等号也成立，进而可得

( 1 an +1)

1 an +1

=2，进而推断数列{

1

an

+1}为等比数列，且首项为2，公比为2，进而求得数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）可得数列{n(

1

an

+1)}的通项公式，再利用错位相减法，求得S_n
（3）由（1）中的a_n可得K_n，又根据an=

1

2n-1

＞2(

1

n

-

1

n+1

)，代入K_n，即可证明原式．

解答：解：（1）证明：∵an+1=

an

an+2

∴

1 an+1 +1

1 an +1

=

1 an an+2 +1

1 an +1

=

( 1 an +1)

1 an +1

=2
∵数列{

1

an

+1}是以

1

a1

+1=2为首项，2为公比的等比数列，
所以

1

an

+1=2n可得an=

1

2n-1

（2）由（1）可知n(

1

an

+1)=n•2n，
所以S_n=1•2¹+2•2²+3•2³++（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，2S_n=1•2²+2•2³+3•2⁴++（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
两式相减化简可得，S_n=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹
（3）n≥3，2n=

C

0 n

+

C

1 n

++

C

n n

＜

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

=1+n+

n(n-1)

2

=1+

n(n+1)

2

，
可得n≥3，an=

1

2n-1

＞

1

1+ n(n+1) 2 -1

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)，此时Kn＞a1+a2+2(

1

3

-

1

4

)+2(

1

4

-

1

5

)++2(

1

n

-

1

n+1

)=1+

1

3

+2(

1

3

-

1

n+1

)=

2n

n+1

点评：本题主要考查等比数列的通项公式和求和公式的应用，属基础题．