Question

已知点A（4，0）和B（2，2），M是椭圆

x2

25

+

y2

9

=1上一动点，则|MA|+|MB|的最大值是

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质,函数的最值及其几何意义,两点间的距离公式

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题设条件可知，MA+MB=10+|MB|-|MF|．当M在直线BF与椭圆交点上时，在第一象限交点时有|MB|-|MF|=-|BF|，在第三象限交点时有|MB|-|MF|=|BF|．显然当M在直线BF与椭圆第三象限交点时|MA|+|MB|有最大值，其最大值为|MA|+|MB|=10+|MB|-|MF|=10+|BF|．由此能够求出MA+MB的最大值．

解答： 解：A为椭圆右焦点，设左焦点为F（-4，0），则由椭圆定义|MA|+|MF|=2a=10，
于是|MA|+|MB|=10+|MB|-|MF|．
当M不在直线BF与椭圆交点上时，M、F、B三点构成三角形，于是|MB|-|MF|＜|BF|，
而当M在直线BF与椭圆交点上时，在第一象限交点时，有|MB|-|MF|=-|BF|，
在第三象限交点时有|MB|-|MF|=|BF|．
显然当M在直线BF与椭圆第三象限交点时|MA|+|MB|有最大值，其最大值为
|MA|+|MB|=10+|MB|-|MF|=10+|BF|=10+

(2+4)2+(2-0)2

=10+2

10

．
故答案为：10+2

10

．

点评：本题考查椭圆的基本性质，解题时要熟练掌握基本公式．