Question

已知函数f（x）=lnx-ax²-x，a∈R．
（1）若函数y=f（x）在其定义域内是单调增函数，求a的取值范围；
（2）设函数y=f（x）的图象被点P（2，f（2））分成的两部分为c₁，c₂（点P除外），该函数图象在点P处的切线为l，且c₁，c₂分别完全位于直线l的两侧，试求所有满足条件的a的值．

Answer 1

解：（1），…（2分）
只需要2ax²+x-1≤0，即，
所以．…（4分）
（2）因为．
所以切线l的方程为．
令，则g（2）=0.．…（6分）
若a=0，则，
当x∈（0，2）时，g'（x）＞0；当x∈（2，+∞）时，g'（x）＜0，
所以g（x）≥g（2）=0，c₁，c₂在直线l同侧，不合题意；…（8分）
若a≠0，，
若，，g（x）是单调增函数，
当x∈（2，+∞）时，g（x）＞g（2）=0；当x∈（0，2）时，g（x）＜g（2）=0，符合题意；…（10分）
若，当时，g'（x）＜0，g（x）＞g（2）=0，
当x∈（2，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）＞g（2）=0，不合题意； …（12分）
若，当时，g'（x）＜0，g（x）＜g（2）=0，
当x∈（0，2）时，g'（x）＞0，g（x）＜g（2）=0，不合题意； …（14分）
若a＞0，当x∈（0，2）时，g'（x）＞0，g（x）＜g（2）=0，
当x∈（2．+∞）时，g'（x）＜0，g（x）＜g（2）=0，不合题意．
故只有符合题意． …（16分）
分析：（1）函数y=f（x）在其定义域内是单调增函数只需要2ax²+x-1≤0对任意的x》0恒成立?成立，利用二次函数的性质可求得a的取值范围；
（2）依题意可求得f（x）在点x=2处的切线l方程，假设满足条件的a存在，令，对a分类讨论，利用导数工具研究它的性质，利用g′（x）的单调性即可分析判断a是否存在．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，着重考查构造函数的思想，函数与方程，分类讨论与化归思想的综合运用，属于难题．