Question

（2013•浙江模拟）已知椭圆

y2

5

+

x2

4

=1的上、下焦点分别为N、M，若动点P满足

MP

•

MN

=|

PN

|•|

MN

|
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）直线l₁：y=-1，设倾斜角为α的直线l₂过点N，交轨迹C于两点A、B，交直线l₁于点R．若α∈（0，

π

6

]，求|AR|•|BR|的最小值．

Answer 1

分析：（1）设P（x，y），写出向量

MP

，

MN

，

PN

的坐标，代入

MP

•

MN

=|

PN

|•|

MN

|，整理即得所求轨迹C的方程；
（2）设直线l₂的方程为y=kx+1，与抛物线C方程联立消掉y得x的二次方程，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），易求R点坐标，由弦长公式及韦达定理把|AR|•|BR|表示出来，可得关于k的函数，由α∈（0，

π

6

]得k的范围，构造函数，根据函数的单调性即可求得|AR|•|BR|的最小值；

解答：解：（1）设P（x，y），则

MP

=(x，y+1)，

MN

=(0，2)，

PN

=(-x，1-y)，
由

MP

•

MN

=|

PN

|•|

MN

|，得2(y+1)=

x2+(1-y)2

×2，
整理得x²=4y，
所以动点P的轨迹C的方程为x²=4y；
（2）设直线l₂的方程为y=kx+1，代入抛物线方程x²=4y消去y，得x²-4kx-4=0．
记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．
因为直线l₂的斜率k≠O，易得点R的坐标为(-

2

k

，-1)．
|AR|•|BR|=

1+k2

|x₁-x_R|•

1+k2

|x₂-x_R|
=（1+k²）•（x₁+

2

k

）（x₂+

2

k

）=（1+k²） x₁ x₂+（

2

k

+2 k）（ x₁+x₂）+

4

k2

+4
=-4（1+k²）+4k（

2

k

+2k）+

4

k2

+4=4（k²+

1

k2

）+8，
又α∈（0，

π

6

]，∴k∈（0，

3

3

]，k2∈(0，

1

3

]，
令t=k²，∵f（t）=4（t+

1

t

）+8在（0，

1

3

]上递减，
所以|AR|•|BR|的最小值为4(

1

3

+3)+8=

64

3

．

点评：本题考查椭圆、抛物线、直线方程及两点间距离公式等基础知识，考查函数思想，解决（2）问的关键是用参数k表示出|AR|•|BR|．