Question

【题目】已知点，点是圆：上任意一点，线段的垂直平分线交于点，点的轨迹记为曲线．

（1）求曲线的方程；

（2）过的直线交曲线于不同的，两点，交轴于点，已知，，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）根据垂直平分线的性质及几何关系，结合椭圆的定义，求得曲线的方程；

（2）过的直线斜率为0时，直接求出，可得，斜率不为0时可设为，，再联立方程组，运用根与系数的关系，化简向量式并表示出，化简可得.

解：（1）由题意知，，

故由椭圆定义知，点的轨迹是以点，为焦点，长轴为6，焦距为4的椭圆，从而长半轴长为，短半轴长为，∴曲线的方程为：．

（2）由题意知，若直线恰好过原点，则，，，

∴，，则，

，，则，∴．

若直线不过原点，设直线：，，

，，．

则，，

，，

由，得，从而；

由，得，从而；

故．

联立方程组得：整理得，

∴，，

∴．

综上所述，．