Question

20．定义在R上的偶函数f（x），对任意的x有f（x+2）=f（x），当x∈[0，1]，f（x）=a（1-x），（a＞0）．
（1）当x∈[-1，1]时，求f（x）的解析式；
（2）当x∈[2013，2014]时，求f（x）的解析式；
（3）若f（x）的最大值为2，解关于x的不等式f（x）＞1．

Answer 1

分析 （1）求出函数的周期，根据函数的奇偶性求出f（x）在[-1，1]的表达式即可；
（2）根据函数的周期性，根据x∈[2013，2014]时，表达式同x∈[-1，0）时一样，求出函数的解析式即可；
（3）求出函数f（x）在{-1，1]的单调性，从而求出不等式的解集即可．

解答 解：（1）f（x+2）=f（x），故函数f（x）的周期是2，
x∈[-1，0]时，f（x）是偶函数，
f（x）=f（-x）=a[1-（-x）]=a（1+x），
∴x∈[-1，1]时，
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a（1+x），x∈[-1，0]}\\{a（1-x），x∈（0，1]}\end{array}\right.$，
（2）f（x）=f（x+2），
故x∈[-1，0]时，f（x）=f（x+2014），
故x∈[2013，2014]时，表达式同x∈[-1，0）时一样，
∴f（x）=f（x-2014）=a[1+（x-2014）]=a（x-2013），
∴x=0时，f（x）取最大值，即a=2；
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2（x+1），x∈[-1，0]}\\{2（1-x），x∈（0，1]}\end{array}\right.$，
（3）当x∈[0，1]时，f（x）=a（1-x），（a＞0），
∴x∈[0，1]时，f（x）是减函数，
∴在x∈[-1，1]上，f（x）＞1的解集是：（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∴f（x）＞1的解是：（-$\frac{1}{2}$+2k，$\frac{1}{2}$+2k），k∈（Z）．

点评 本题考查了函数的单调性、周期性以及解不等式问题，是一道中档题．