Question

10．已知函数$f（x）={x^2}-（{a+\frac{1}{a}}）x+1$，实数a＞0．
（1）比较a与$\frac{1}{a}$的大小；
（2）解关于x的不等式：f（x）≤0．

Answer 1

分析 （1）作差法比较大小．（2）因式分解得方程f（x）=0的解为a或$\frac{1}{a}$，再分类讨论求得不等式的解集．

解答 解：（1）∵a＞0
∴$a-\frac{1}{a}=\frac{{a}^{2}-1}{a}$=$\frac{（a-1）（a+1）}{a}$＞0得：a＞1
∴a＞1时，$a＞\frac{1}{a}$；a=1时，$a=\frac{1}{a}$；0＜a＜1时，$a＜\frac{1}{a}$．
（2）$f（x）=（x-a）（x-\frac{1}{a}）$
①a＞1时，$a＞\frac{1}{a}$，f（x）≤0的解集为$[\frac{1}{a}，a]$；
②a=1时，$a=\frac{1}{a}$=1，f（x）≤0的解集为{x|x=1}；
③0＜a＜1时，$a＜\frac{1}{a}$，f（x）≤0的解集为$[a，\frac{1}{a}]$．

点评 考查比较两数的大小关系，解含参不等式，考查分类讨论思想．想到因式分解是难点，属于中档题．