Question

18．如果存在非零常数C，对于函数y=f（x）定义域上的任意x，都有f（x+C）＞f（x）成立，那么称函数为“Z函数”．
（Ⅰ）若g（x）=2^x，h（x）=x²，试判断函数g（x）和h（x）是否是“Z函数”？若是，请证明：若不是，主说明理由：
（Ⅱ）求证：若y=f（x）（x∈R）是单调函数，则它是“Z函数”；
（Ⅲ）若函数f（x）=ax³+2x²+3是“Z函数”，求实数a满足的条件．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据“Z函数”的定义解不等式即可判断．
（Ⅱ）由y=f（x）（x∈R）是单调函数，若是增函数，则当c＞0时，函数为“Z函数”；若是减函数，则当c＜0时，函数为“Z函数”，从而得证；
（Ⅲ）由函f（x）=ax³+2x²+3是“Z函数”，则函数f（x）满足定义，结合一元二次不等式恒成立进行求解即可．

解答 证明：（Ⅰ）若g（x）=2^x，由g（x+C）＞g（x）得2^x+C＞2^x，即x+C＞x，则C＞0，即存在C＞0，则g（x）是“Z函数”，
若h（x）=x²，由h（x+C）＞h（x）得（x+C）²＞x²，即2Cx+C²＞0，
即若C＞0，则2x+C＞0，不能恒成立，若C＜0，则2x+C＜0，不能恒成立即h（x）不是“Z函数”．
（Ⅱ）若y=f（x）（x∈R）是单调函数，
若y=f（x）（x∈R）是增函数，则当c＞0时，都有f（x+c）＞f（x）成立，函数为“Z函数”．
若y=f（x）（x∈R）是减函数，则当c＜0时，都有f（x+c）＞f（x）成立，函数为“Z函数”．
（Ⅲ）若函数f（x）=ax³+2x²+3是“Z函数”，
由f（x+C）＞f（x）得函数为单调函数，
得a（x+C）³+2（x+C）²+3＞ax³+2x²+3，
即3aCx²+（3aC²+4C）x+（aC³+2C²）＞0恒成立，
则$\left\{\begin{array}{l}{3aC＞0}\\{△=（3a{C}^{2}+4{C）}^{2}-12aC（a{C}^{3}+2{C}^{2}）＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{aC＞0}\\{aC＞\frac{4\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
则$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{C＞\frac{4\sqrt{3}}{3a}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{C＜\frac{4\sqrt{3}}{3a}}\end{array}\right.$，即a≠0即可．

点评 本题主要考查了函数单调性的判断与证明，考查了进行简单的合情推理的能力，考查了转化思想，属于中档题．