Question

9．f（x）是R上的奇函数且满足f（3-x）=f（3+x），若x∈（0，3）时，f（x）=x+lgx，则f（x）在（-6，-3）上的解析式是f（x）=-x-6-lg（x+6），x∈（-6，-3）．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性和对称性的性质进行转化求解即可求函数的解析式．

解答 解：∵f（x）是R上的奇函数且满足f（3-x）=f（3+x），
则f（3-x）=f（3+x）=-f（x-3），
即f（x+6）=-f（x），
即f（x）=-f（x+6），
若x∈（-6，-3），则x+6∈（0，3），
∵若x∈（0，3）时，f（x）=x+lgx，
∴f（x+6）=x+6+lg（x+6），
即f（x）=-f（x+6）=-x-6-lg（x+6），x∈（-6，-3），
故答案为：f（x）=-x-6-lg（x+6），x∈（-6，-3）

点评 本题主要考查函数解析式的求解，跟姐姐函数奇偶性和对称性的关系将条件进行转化是解决本题的关键．